حل درس المتتالية الهندسية في صورة دوال أسيّة للصف العاشر

عندما نتحدث عن المتتاليات الهندسية و الدوال الأسية، فإننا نتناول مفهومين رياضيين مترابطين بشكل وثيق. فكلاهما يتضمن نمواً أو تناقصاً بمعدل ثابت، ولكن بطرق مختلفة قليلاً. دعونا نستكشف العلاقة بينهما بشكل أعمق.

ما هي المتتالية الهندسية؟

المتتالية الهندسية هي سلسلة من الأعداد حيث يكون حاصل قسمة أي حد على الحد الذي يسبقه ثابتًا. هذا الثابت يسمى النسبة المشتركة.

• مثال: المتتالية 2، 4، 8، 16، … هي متتالية هندسية حيث النسبة المشتركة هي 2.

ما هي الدالة الأسية؟

الدالة الأسية هي دالة تأخذ الشكل العام:

y = a^x

حيث:

• a: قاعدة الأس (عدد موجب غير يساوي 1).
• x: الأس.
• y: قيمة الدالة.

الدوال الأسية تمثل نمواً أسيًا إذا كانت القاعدة أكبر من 1، وتمثل تناقصًا أسيًا إذا كانت القاعدة بين 0 و 1.

العلاقة بين المتتالية الهندسية والدالة الأسية

يمكننا تمثيل أي متتالية هندسية بدالة أسية. لنأخذ المتتالية الهندسية العامة:

a, ar, ar^2, ar^3, ...

حيث:

• a: الحد الأول.
• r: النسبة المشتركة.

إذا أردنا كتابة هذه المتتالية كدالة، يمكننا تعريف الدالة f(n) حيث n هو رقم الحد:

f(n) = ar^(n-1)

لاحظ أن هذه الدالة هي دالة أسية حيث الأس هو (n-1) والقاعدة هي r.

لماذا نستخدم الدوال الأسية لتمثيل المتتاليات الهندسية؟

• البساطة: الدوال الأسية توفر طريقة مختصرة وواضحة لوصف سلوك المتتالية الهندسية.
• التعميم: يمكننا استخدام الدوال الأسية لحساب أي حد في المتتالية بسهولة، مهما كان كبيراً.
• التحليل: يمكننا تحليل سلوك المتتالية الهندسية (مثل النمو أو التناقص) باستخدام خصائص الدوال الأسية.
• التطبيقات: الدوال الأسية لها تطبيقات واسعة في العديد من المجالات، مثل النمو السكاني، النمو الاقتصادي، التحلل الإشعاعي، وغيرها.