حل درس المسافة على المستوى الاحداثي للصف الثامن

المسافة على المستوى الإحداثي — الصف الثامن (الفصل الثاني)

يُعد درس المسافة على المستوى الإحداثي من أهم دروس الهندسة التحليلية، حيث يتعلم الطالب كيفية إيجاد المسافة بين نقطتين باستخدام الإحداثيات.

ما هو المستوى الإحداثي؟

يتكوّن المستوى الإحداثي من محورين متعامدين:

• المحور السيني (x) — يمثل الاتجاه الأفقي.
• المحور الصادي (y) — يمثل الاتجاه العمودي.

يُكتب موقع النقطة على الشكل: (س، ص) أو (x, y).

صيغة حساب المسافة بين نقطتين

إذا كانت لدينا نقطتان:
A(x₁, y₁) وB(x₂, y₂)
فإن المسافة بينهما تُحسب باستخدام الصيغة:

d = √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²]

تعتمد هذه الصيغة على نظرية فيثاغورس باعتبار أن المسافة بين النقطتين هي الوتر في مثلث قائم الزاوية.

مثال توضيحي

مثال: أوجد المسافة بين النقطتين A(2, 3) وB(7, 11).

الحل:

• فرق السينات: 7 − 2 = 5
• فرق الصادات: 11 − 3 = 8

d = √(5² + 8²) = √(25 + 64) = √89
إذن المسافة ≈ 9.43 وحدة

مثال آخر

أوجد المسافة بين النقطتين: C(−4, 2) وD(3, −1)

الحل:

• فرق السينات: 3 − (−4) = 7
• فرق الصادات: −1 − 2 = −3

d = √(7² + (−3)²) = √(49 + 9) = √58
إذن المسافة ≈ 7.62 وحدة

كيفية رسم النقاط على المستوى

• حدد قيمة x على المحور الأفقي.
• حدد قيمة y على المحور العمودي.
• ضع النقطة عند تقاطع الموقعين.
• إذا كانت الإحداثيات سالبة، تتحرك في الاتجاهات المعاكسة.

حالات خاصة للمسافة

• إذا كان فرق الصادات = 0: تكون المسافة = |فرق السينات| (نقطتان أفقيتان).
• إذا كان فرق السينات = 0: تكون المسافة = |فرق الصادات| (نقطتان عموديتان).

تمارين تدريبية (مع حلول مخفية)

1. احسب المسافة بين النقطتين P(1, 5) وQ(4, 1).
   
   الإجابة

   فرق السينات 3، فرق الصادات −4 → d = √(3² + (−4)²) = √25 = 5

2. احسب المسافة بين النقطتين M(−2, −3) وN(3, 4).
   
   الإجابة

   فرق السينات 5، فرق الصادات 7 → d = √(25 + 49) = √74 ≈ 8.60

3. نقطتان لهما نفس الإحداثي x وهما S(6, −1) وT(6, 9). ما المسافة بينهما؟
   
   الإجابة

   مسافة عمودية: |9 − (−1)| = 10 وحدات.

نصائح لفهم الدرس بشكل أفضل

• ارسم النقاط دائمًا لتوضيح المسألة بصريًا.
• احسب فرق السينات وفرق الصادات بدقة قبل التربيع.
• تذكر أن المسافة دائمًا قيمة موجبة.
• استخدم الآلة الحاسبة للجذور التربيعية المعقدة.