حل درس عمليات تغيير الابعاد – التمدد للصف الثامن الفصل الثاني

مفهوم التمدد في الهندسة

يُعد التمدد أحد تحويلات الهندسة التي تُغيّر حجم الشكل دون أن تغيّر من شكله العام.

ويُستخدم التمدد لزيادة حجم الشكل أو تقليله اعتماداً على مركز التمدد وعامل القياس.

ورغم تغير الحجم، فإن الشكل الناتج يبقى مماثلاً للشكل الأصلي.

عناصر التمدد

• مركز التمدد: نقطة ثابتة يتمدد الشكل ابتداءً منها أو يتقلص نحوها.
• عامل القياس (k): رقم يحدد مقدار تكبير أو تصغير الشكل.
  إذا كان k > 1 يحدث تكبير، وإذا كان 0 < k < 1 يحدث تصغير.

خصائص التمدد

• يغير حجم الشكل الهندسي لكنه يحافظ على شكله.
• يُحافظ على قياس الزوايا.
• الأضلاع في الشكل الجديد تكون متناسبة مع الأضلاع في الشكل الأصلي.
• النقاط تبتعد عن مركز التمدد أو تقترب منه بحسب قيمة k.

كيفية إيجاد صورة نقطة بعد التمدد

لإيجاد صورة نقطة بعد تطبيق التمدد، نستخدم العلاقة المباشرة:

(x’, y’) = (k × x , k × y)

حيث أن (x, y) إحداثيات النقطة الأصلية، و(x’, y’) إحداثيات صورتها،
وk هو عامل القياس، ويكون مركز التمدد هنا نقطة الأصل (0,0).

أمثلة على التمدد

مثال 1: إذا كانت النقطة A(3, 2) وتم تطبيق تمدد بعامل قياس k = 2 حول نقطة الأصل،
فتصبح صورة النقطة هي: A'(6, 4).

مثال 2: إذا كانت النقطة B(–4, 1) وتم تنفيذ تمدد بعامل k = 0.5،
فإن صورتها تكون: B'(–2, 0.5).

مثال 3: إذا كان لدينا مثلث ABC وتم تطبيق تمدد بعامل 3، فإن جميع أضلاعه
في الشكل الجديد ستكون أطول بثلاث مرات من الأضلاع الأصلية، بينما تبقى الزوايا كما هي.

التمدد عندما لا يكون مركزه نقطة الأصل

عندما يكون مركز التمدد نقطة مختلفة عن (0,0)، نقوم بما يلي:

1. نرسم خطاً بين مركز التمدد والنقطة الأصلية.
2. نقيس المسافة بينهما.
3. نضرب هذه المسافة في عامل القياس k.
4. نحدد النقطة الجديدة على نفس الخط وفي نفس الاتجاه.

تطبيقات التمدد في الحياة اليومية

• تكبير أو تصغير الرسومات الهندسية.
• تصميم الخرائط حيث يتم تصغير المسافات بنسب محددة.
• تحجيم الصور الرقمية دون تغيير شكلها.
• استخدامه في فنون العمارة والزخرفة.